Y a-t-il, selon vous, un mode d’approche commun ( … des stratégies “de base” ) à développer chez les élèves face à toute situation problème en mathématiques ?
D'une certaine manière, caricaturale, le problème commence pour l'élève au moment où il a compris la situation qui sert de support au questionnement et où il perçoit l'enjeu de ce questionnement. Alors seulement, il peut se lancer dans la résolution… au cours de laquelle il aura peut-être à reconsidérer ou compléter certains des éléments précédents.
A partir de là, on peut sommairement classer en 3 catégories les problèmes et les stratégies qui peuvent être mobilisées.
1. Le problème se rapproche d'un problème dont la résolution est connue. Si l'élève est capable de le situer dans une "classe de problèmes" (explicitement ou non), la résolution peut être rapide… Le problème n'en était pas véritablement un !
2. Le problème est un problème "à étapes" dont il faut mettre à jour la chronologie (il faut planifier la résolution en sous-problèmes que l'on sait résoudre). Deux démarches complémentaires sont alors possibles correspondants à deux types d'interrogations et de déductions :
A partir de là, on peut sommairement classer en 3 catégories les problèmes et les stratégies qui peuvent être mobilisées.
1. Le problème se rapproche d'un problème dont la résolution est connue. Si l'élève est capable de le situer dans une "classe de problèmes" (explicitement ou non), la résolution peut être rapide… Le problème n'en était pas véritablement un !
2. Le problème est un problème "à étapes" dont il faut mettre à jour la chronologie (il faut planifier la résolution en sous-problèmes que l'on sait résoudre). Deux démarches complémentaires sont alors possibles correspondants à deux types d'interrogations et de déductions :
- que peut-on déduire immédiatement de ce qu'on sait (des données) ? (démarche qu'on pourrait qualifier de descendante)
- que faudrait-il connaître pour répondre à la question finale ou à une question suggérée par celle-ci ? (démarche qu'on pourrait qualifier de remontante)
3. Le problème est un problème "ouvert" (inédit). Selon le problème, diverses stratégies d'investigation sont possibles :
- recours à des essais (hypothèses sur la réponse) et des ajustements (comme dans le problème des pièces, de la question 5) ;
- recours à des exemples et des contre-exemples dans le but de formuler une conjecture dont la validité devra être éprouvée (comme dans le problème des multiples de 4, de la question 5) ;
- recours à des exemples permettant de déboucher sur une généralisation (un exemple devenant alors prototypique) : par exemple, pour trouver combien de poignées peuvent être échangées entre 78 personnes, on peut penser à étudier le cas de 9 personnes (en schématisant les personnes par des points et les poignées de main par des traits reliant 2 points), on remarque alors que de chaque point il part 8 traits (on pense alors a 9 x8), mais on remarque que chaque trait est ainsi compté 2 fois, d'où la réponse (9 x 8) / 2 qui peut facilement être généralisée au cas de 78 personnes.
Plus généralement, il faut penser la résolution de problème comme une démarche d'investigation dans laquelle, en général, on ne trouve ni tout de suite, ni directement. La recherche au brouillon y a donc une importance particulière avant de parvenir à une réponse organisée et communicable.
Roland Charnay
Il est important selon moi, de travailler les compétences de «résolveurs de problèmes» à l’école, pour elles-mêmes, c'est-à-dire les mettre réellement en objectifs d’apprentissage (ces compétences sont principalement : représenter la situation, résoudre, communiquer, vérifier). Ces apprentissages devront aussi permettre de défaire, de remettre en cause bon nombre de présupposés, idées erronées, démarches simplistes…des enfants à propos des problèmes (par exemple : « résoudre un problème c’est faire un calcul ! » ). Il me paraît essentiel de travailler en priorité la compétence “représenter la situation pour aider par la suite à la résoudre” au moyen de différents outils : la mise en scène, le mime, le dessin, la reformulation, la schématisation…
A travers les représentations des enfants on peut mieux les aider à identifier ce qu’ils ont déjà perçu d’intéressant et d’utile mais aussi ce qu’ils ont oublié, mal interprété, déformé …etc. L’enseignant, lui, peut mieux cerner aussi ce qui s’est passé dans la tête de chacun des enfants et donc les aider de façon plus appropriée. En travaillant cette phase de représentation on invite les enfants à ne pas se précipiter tête baissée dans la résolution au risque de s’y casser la figure et de renoncer.
En travaillant cette compétence on développe une attitude, un savoir faire typique de l’expert en résolution de problèmes. Le travail de représentation est un travail plutôt réconfortant…qui réconcilie en général les enfants avec la résolution de problèmes.
A travers les représentations des enfants on peut mieux les aider à identifier ce qu’ils ont déjà perçu d’intéressant et d’utile mais aussi ce qu’ils ont oublié, mal interprété, déformé …etc. L’enseignant, lui, peut mieux cerner aussi ce qui s’est passé dans la tête de chacun des enfants et donc les aider de façon plus appropriée. En travaillant cette phase de représentation on invite les enfants à ne pas se précipiter tête baissée dans la résolution au risque de s’y casser la figure et de renoncer.
En travaillant cette compétence on développe une attitude, un savoir faire typique de l’expert en résolution de problèmes. Le travail de représentation est un travail plutôt réconfortant…qui réconcilie en général les enfants avec la résolution de problèmes.
Françoise Lucas
- Faire lire le texte et chercher INDIVIDUELLEMENT pendant quelques minutes ;
laisser faire sur le cahier de brouillon même si les calculs n’ont pas de sens : souvent l’élève additionne les nombres dans l’ordre où ils se présentent, essaie différentes opérations… ; c’est erroné sans doute mais… dé-stressant… dans un premier temps. - Encourager, donner confiance (il n’y a pas de note, pas de sanction), insister si besoin sur le sens des opérations, faire expliciter les besoins : de quoi as-tu besoin ? Que peut-on chercher ?
Prise de conscience et analyse des erreurs (« Pourquoi as-tu ajouté les cerises et les enfants ? ») - Donner un coup de pouce sans souffler la solution : schémas, représentations, rappel d’un problème semblable déjà résolu ;
- Proposer un travail en équipe avec un autre élève ;
- Faire écrire ce que représentent les calculs et résultats trouvés (c’est difficile…) ;
- Pour les problèmes numériques les difficultés sont souvent liées au sens des opérations. Aussi est-il important d’étudier et de faire réfléchir sur les problèmes classiques, à mémoriser éventuellement, donnant du sens aux opérations.
- La technique des opérations liée à la connaissance des tables est à travailler régulièrement.
- Idem pour le calcul mental qui doit être quotidien. Pourquoi s’en priver puisque les élèves apprécient.
Quant aux problèmes de recherche, la mise en confiance est essentielle : l’élève doit pouvoir essayer, conjecturer, tester, se tromper, vérifier, recommencer, prouver… comme un petit chercheur !
Thérèse Eveilleau
La construction d’une représentation appropriée de la situation est sans doute un élément crucial : prendre le temps d’analyser le problème et faire appel à ses connaissances (pas seulement mathématiques) avant de foncer tête baissée dans des calculs qui perdent parfois tout leur sens.
Face à certaines situations, il peut aussi être intéressant de faire appel à certaines stratégies, comme la simplification des nombres ou la décomposition du problème en sous-problème. Enfin, il est également important de vérifier si la solution obtenue est plausible et de s’interroger sur la pertinence de la démarche mise en œuvre.
Annick Fagnant et Isabelle Demonty
Il y a pas mal de littérature à ce sujet, mais pas de paradigme universel. Plutôt que d’apprendre comment il faut penser, il faut que l’envie de penser soit vivante. Les « stratégies » prêt-à-porter masquent souvent une vraie carence dans la dynamique d’apprentissage. La qualité relationnelle et la cohérence pédagogique, ces fondamentaux, sont plus efficaces que les stratégies préfabriquées. Il importe aussi de laisser du champ à l’élève pour qu’il élabore ses propres stratégies. Se mettre à enseigner les méthodes comme des « matières » est le signe évident d’une relation au savoir pour le moins « pauvre ».
Par ailleurs, un retour sur la (ou les) démarche(s) après la résolution, une formulation suivie éventuellement d’une formalisation sont indispensables.
Il y a des méthodes spécifiques dans le cadre de champs conceptuels précis, des « familles de problèmes ».
Exemples : le tableau de nombres, dont le tableau de proportionnalité, les segments qui représentent des quantités dans les problèmes de partage, le schéma de résolution par « la méthode des équations » la construction d’une formule, les stratégies de dénombrement, les représentations ensemblistes.
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Par ailleurs, un retour sur la (ou les) démarche(s) après la résolution, une formulation suivie éventuellement d’une formalisation sont indispensables.
Il y a des méthodes spécifiques dans le cadre de champs conceptuels précis, des « familles de problèmes ».
Exemples : le tableau de nombres, dont le tableau de proportionnalité, les segments qui représentent des quantités dans les problèmes de partage, le schéma de résolution par « la méthode des équations » la construction d’une formule, les stratégies de dénombrement, les représentations ensemblistes.
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Françoise Van Dieren
Au niveau du primaire, on peut développer une méthode, une organisation, des schèmes en faisant dans un même temps attention à ne pas formater des raisonnements qui pourraient laisser croire aux élèves que sans solution experte ils ne peuvent pas résoudre le problème.
En France, des études prouvent que les élèves sont en situation d’échec quand, lorsqu’ils sont face à des problèmes qu’ils ne savent pas résoudre, ils n’osent pas se lancer.
Comment ?
En proposant parallèlement à ces situations très structurantes , des situations de recherche que l’élève ne peut résoudre que par essais successifs pour développer l’esprit d’initiative.
Exemple de situations en cycle 3 : des problèmes que nous, adultes, résoudrions avec une équation à deux inconnues, des problèmes où il faut commencer par résoudre la dernière question avant de pouvoir répondre aux autres questions... (Voir les situations ERMEL).
En France, des études prouvent que les élèves sont en situation d’échec quand, lorsqu’ils sont face à des problèmes qu’ils ne savent pas résoudre, ils n’osent pas se lancer.
Comment ?
En proposant parallèlement à ces situations très structurantes , des situations de recherche que l’élève ne peut résoudre que par essais successifs pour développer l’esprit d’initiative.
Exemple de situations en cycle 3 : des problèmes que nous, adultes, résoudrions avec une équation à deux inconnues, des problèmes où il faut commencer par résoudre la dernière question avant de pouvoir répondre aux autres questions... (Voir les situations ERMEL).
Elsa Pelestor