Le récent rapport du service de l’inspection des écoles (en Belgique francophone) met en évidence les difficultés rencontrées par les élèves en mathématiques… Pourtant, selon ce même rapport, ce n’est pas faute de consacrer du temps de classe aux mathématiques… Mais sans doute ce temps ne laisse-t-il que trop peu de place à des situations problèmes qui provoquent la recherche et la construction de concepts mathématiques.
Comment définiriez-vous ce qu’est un “vrai” problème mathématique ?
Un vrai problème mathématique peut être défini comme "une situation qui fait problème", donc qui propose une forme de défi. Pour cela, il faut que l'élève puisse comprendre la situation, se représenter l'enjeu de la résolution (ce qu'il faut trouver) et mettre en œuvre différentes ressources pour y parvenir.
Dans ce sens, un problème pour l'un n'est pas nécessairement un problème pour l'autre. Le problème "des jetons" ( voir question 4) n'est pas un problème pour celui qui pense immédiatement à la multiplication et même à l'addition. C'en est un pour celui qui doit commencer par représenter matériellement la situation.
Un problème comme "José possède autant de pièces de 50 c que de 20 c et de 10 c. Il possède 8 €. Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?" 1 n'est pas un problème pour celui qui remarque qu'avec 3 de ces pièces, on obtient 80 c et qu'il faut donc 10 groupes de 3 pièces pour avoir 10 €. C'en est un pour celui qui est obligé de procéder en faisant des hypothèses successives sur le nombre de pièces…
Enfin, un problème est mathématique dès l'instant où des connaissances mathématiques sont nécessaires pour sa résolution. Il peut être issu aussi bien d'un contexte a priori non mathématique (jetons, pièces…) que d'un contexte mathématique (Comment reconnaître facilement si un nombre est ou non multiple de 4 ?2).
1 D'après Cap maths, CM1, éditions Hatier (page 166)
2 D'après Vrai ? Faux ? … On en débat ! (INRP, p. 63)
Dans ce sens, un problème pour l'un n'est pas nécessairement un problème pour l'autre. Le problème "des jetons" ( voir question 4) n'est pas un problème pour celui qui pense immédiatement à la multiplication et même à l'addition. C'en est un pour celui qui doit commencer par représenter matériellement la situation.
Un problème comme "José possède autant de pièces de 50 c que de 20 c et de 10 c. Il possède 8 €. Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?" 1 n'est pas un problème pour celui qui remarque qu'avec 3 de ces pièces, on obtient 80 c et qu'il faut donc 10 groupes de 3 pièces pour avoir 10 €. C'en est un pour celui qui est obligé de procéder en faisant des hypothèses successives sur le nombre de pièces…
Enfin, un problème est mathématique dès l'instant où des connaissances mathématiques sont nécessaires pour sa résolution. Il peut être issu aussi bien d'un contexte a priori non mathématique (jetons, pièces…) que d'un contexte mathématique (Comment reconnaître facilement si un nombre est ou non multiple de 4 ?2).
1 D'après Cap maths, CM1, éditions Hatier (page 166)
2 D'après Vrai ? Faux ? … On en débat ! (INRP, p. 63)
Roland Charnay
Une vraie situation problème (mathématique) est une situation complexe qui déstabilise parce que les pistes de résolution et la (ou les) solution(s) ne sont pas perceptibles d’emblée. Ce que l’on connaît, ce qu’on a l’habitude d’utiliser ne « fonctionne » plus. La situation demande donc de la réflexion, des actions, de l’engagement pour chercher et inventer quelque chose de nouveau. Tout le savoir mathématique lié à la situation ne doit pas nécessairement être créé mais le plus souvent ce sont les enchaînements de ces savoirs, au service de la situation qui sont à élaborer.
A l’école il est essentiel que les situations problèmes proposées aux enfants tout en étant déstabilisantes restent adaptées à leur bagage cognitif, à leur potentiel.
A l’école il est essentiel que les situations problèmes proposées aux enfants tout en étant déstabilisantes restent adaptées à leur bagage cognitif, à leur potentiel.
Françoise Lucas
Nous distinguons trois types de problèmes sur le plan didactique :
- la situation problème qui a pour but de favoriser la construction de nouvelles connaissances. On remet en cause les représentations ou connaissances actuelles des élèves. En résolvant un problème l’élève va construire de nouvelles connaissances. Par exemple un élève de CM travaillant sur les décimaux, découvrira que la « multiplication ne fait pas toujours grandir » :
5 x 0,2 =1 et 1< 5. - les problèmes ouverts : problèmes qu’on n’a pas appris à résoudre. On n’a pas toujours de modèle et il faut chercher… Chacun doit chercher avec ses propres moyens : imagination, envie de trouver, essais erreurs, confiance en soi.
Ce type de problème amènera les élèves à argumenter, organiser, exposer, formuler… une vraie richesse.
Les maîtres non matheux sont inquiets devant ce type de problème car les élèves ont souvent d’excellentes idées auxquelles on ne peut pas toujours répondre immédiatement…
« Bonne question… hum ! Je vais réfléchir ». - les problèmes de réinvestissement : ils permettent de vérifier d’appliquer et d’utiliser les connaissances acquises précédemment.
Thérèse Eveilleau
Un « vrai problème » ? C’est sans doute avant tout une situation qui «pose» problème à quelqu’un, une situation face à laquelle la personne ressent l’envie et les moyens de s’investir. Il faut que l’élève puisse entrer dans la situation avec ses propres démarches, ses propres connaissances, … et que l’enseignant joue un rôle d’étayage pour l’aider à progresser, à développer de nouveaux apprentissages.
Annick Fagnant et Isabelle Demonty
Tout problème doit se situer dans ce que Vitgovki appelle « la zone proximale » : parmi les centres d’intérêt, le niveau de langage, les capacités d’abstraction, les outils à mobiliser, le nombre d’étapes dans la résolution.
Lors de la résolution de problèmes, l’élève doit réaliser in situ, qu’il avance dans ses connaissances, son habileté, sa capacité à se débrouiller avec des questions dont il saisit la pertinence. Veiller à ce que les questions soient stimulantes importe plus que de constituer un arsenal de problèmes décousus. La résolution de problèmes doit s’insérer dans une progression globale dont la cohérence doit être perceptible pour l’élève.
Exemples : Problèmes de Stéphanie Dizel
Prix d’amis CQFD 3 Page 32 et 33
Lors de la résolution de problèmes, l’élève doit réaliser in situ, qu’il avance dans ses connaissances, son habileté, sa capacité à se débrouiller avec des questions dont il saisit la pertinence. Veiller à ce que les questions soient stimulantes importe plus que de constituer un arsenal de problèmes décousus. La résolution de problèmes doit s’insérer dans une progression globale dont la cohérence doit être perceptible pour l’élève.
Exemples : Problèmes de Stéphanie Dizel
Prix d’amis CQFD 3 Page 32 et 33
Françoise Van Dieren
Il est très difficile pour un non spécialiste de répondre à cette question. Y a-t-il de « faux » problèmes mathématiques ? L’appellation de problème n’est-elle pas un problème en soi ?
Elsa Pelestor